Còdigo binario y Matrices

CÒDIGO BINARIO

El código binario es el sistema de representación de textos, o procesadores de instrucciones de ordenador, utilizando el sistema binario (sistema numérico de dos dígitos, o bit: el "0" y el "1"). En informática y telecomunicaciones, el código binario se utiliza con variados métodos de codificación de datos, tales como cadenas de caracteres, o cadenas de bits. Estos métodos pueden ser de ancho fijo o ancho variable.
En un código binario de ancho fijo, cada letra, dígito, u otros símbolos, están representados por una cadena de bits de la misma longitud, como un número binario que, por lo general, aparece en las tablas en notación octal, decimal o hexadecimal.

Características del código binario

Ponderación

La mayoría de los

sistemas de numeración actuales son ponderados, es decir, cada posición de una secuencia de dígitos tiene asociado un peso. El sistema binario es, de hecho, un sistema de numeración posicional ponderado. Sin embargo, algunos códigos binarios, como el código Gray, no son ponderados, es decir, no tienen un peso asociado a cada posición. Otros, como el mismo código binario natural o el BCD natural sí lo son.

Distancia

La distancia es una característica sólo aplicable a las combinaciones binarias. La distancia entre dos combinaciones es el número de bits que cambian de una a otra. Por ejemplo, si se tienen las combinaciones de cuatro bits 0010 y 0111, correspondientes al 2 y al 7 en binario natural, se dirá que la distancia entre ellas es igual a dos (ya que de una a otra cambian dos bits).
Además, con el concepto de distancia se puede definir la distancia mínima de un código. Ésta no es más que la distancia menor que haya entre dos de las combinaciones de ese código.

Adyacencia

La adyacencia es una característica que consiste en que de una combinación binaria a la siguiente, sólo varía un bit (distancia igual a uno). Esta propiedad es aplicable únicamente a las combinaciones binarias de un código, no al código en sí mismo.

Continuidad

La continuidad es una característica de los códigos binarios que cumplen que todas las posibles combinaciones del código son adyacentes, es decir, que de cualquier combinación del código a la siguiente cambia un sólo bit. En este caso se dice que el código es continuo. Cuando la última combinación del código es, a su vez, adyacente a la primera, se trata de un código cíclico.

Autocomplementariedad

Se dice que un código binario es autocomplementario cuando el

complemento a nueve del equivalente decimal de cualquier combinación del código puede hallarse invirtiendo los valores de cada uno de los bits (operación lógica unaria de negación) y el resultado sigue siendo una combinación válida en ese código. Esta característica se observa en algunos códigos BCD, como el código Aiken o el código BCD exceso 3. Los códigos autocomplementarios facilitan las operaciones aritméticas.

Códigos detectores de error
Artículo principal: Detección y corrección de errores
Los códigos detectores de error y los códigos correctores de error, surgen como solución al problema de la transmisión de datos por medio de impulsos eléctricos. Existen diferentes factores que pueden provocar un cambio en la señal eléctrica en un instante determinado, por lo que, de producirse esto, los datos binarios que están siendo transferidos pueden verse alterados. El propósito de los códigos detectores de error es detectar posibles errores en los datos, mientras que los códigos detectores y correctores de error no sólo pretenden detectar errores, sino también corregirlos. Existen diferentes métodos de detección de errores, el más usado es, posiblemente, el método del bit de paridad. En cuanto a los códigos correctores, destacan algunos como el código de Hamming.

0000
0
0001
1
0010
2
0011
3
0100
4
0101
5
0110
6
0111
7
1000
8
1001
9
1010
A
1011
B
1100
C
1101
D
1110
E
1111
F

Si presta atención en la tabla de arriba, notará como agregando unos y ceros en un bloque de 4 bits voy escribiendo; en la tabla he llegado hasta 4 bit; en 4 bit posee 16 combinaciones posibles. Según las agrupaciones de bits tendremos mas posibilidad de indicar de una sola vez una instrucción, de no poseer el largo en bits necesario habría que enviar un valor luego otro y luego una instrucción para que los una, por ejemplo, sin entrar en demasiados detalles es algo asi, luego hay muchas instrucciones posibles y se suelen agregar por ejemplo en microprocesadores de computación parar agilizar procesos, como ser en el procesamiento de gráficos en 3D
Las primeras computadoras comercializadas en maza poseían 16 bit me refiero a la IBM AT; con una agrupación de 16 bits se le dice "palabra" ; luego aparecieron los de doble palabra, es decir de 32 bits; y ahora estamos por los 64 bis y en algunos casos 128 bits. Pensar que hoy en día aun son útiles para multitud de tareas micros de 4 bit. Indudablemente la tecnología avanza y se puede dar mas potencia en un mismo espacio a relativo bajo costo que siendo utilizada y consumida por gran publico cada vez va mas en aumento pudiendo también manejar mas información al mismo tiempo.
La base en los componentes digitales es el binario, luego hay lenguaje mas amistoso con el humano que es el hexadecimal y es de cierta forma comprensible por la máquina que lo interpretará al fin igualmente en binario (diferencia de tenciones para los humanos 1 y 0) pero en hexagesimal en ves de decir 1111 0012 decimos F2 Hexadecimal es la parte derecha de la tabla que indiqué arriba es mas fácil recordar F2 que 1111 0012.
Con el binario se pueden realizar sumas restas y distintos cálculos "lógicos". También se ha logrado en un chip mediante procesos industriales juntar muchas piecitas capaces de realizar operaciones lógicas, ¿que es una función lógica? se lo explico con el ejemplo de la función mas básica la de negación que dice que si entra un cero saldrá un uno (NOT); por ejemplo también tenemos la suma que (OR) en donde el componente sumará lógicamente es decir:

0 + 0
0
0 + 1
1
1 + 0
1
1 + 1
1
Interprete esto no como humano sino como maquina, si tiene que sumar un impulso eléctrico nulo mas otro nulo el resultado será valor nulo, es decir lo que hemos llamado cero los humanos; en cambio de sumar algún pulso eléctrico positivo o "valor" a "nulo" dará como resultado valor es decir un uno para los humanos, ya que solo hay dos estados al sumar el estado "uno" o "valor" como lo he llamado recién a otro estado idéntico "uno" o "valor"; dará como resultado idéntico estado 1+1 = 1

Entonces hay cálculos lógicos que se realizan con el binario y hay piecitas electrónicas que pueden realizar estos cálculos y la tecnología avanzó a tal punto que en una pastilla o chip logró incorporar mucha cantidad de estas piecitas, he incluso se puede llegar a programar con electricidad un microprocesador para que desempeñe una tarea lógica y hay procesadores por ejemplo saliéndonos de informática que transforman lenguaje binario en analógico y lo amplifican luego de decepcionarlo utilizado en un celular, hay micros que simplemente marcan un pulso y un conteo por ejemplo empleado en un reloj digital, hay micros desde muy básicos hasta los mas complejos que pueden utilizarse para manejar un dispositivo o formen parte del mismo desde un microondas hasta un televisor, o manejar todo un sistema de control de un satélite enviando y recibiendo información desde y hacia la tierra. Esto es un acercamiento al lenguaje binario, si desea conocer mas de esto le sugiero estudiar electrónica digital. Educación arte cultura y entretenimientos en http://www.estudiargratis.com.ar/.

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MATRICES

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. SylvesterEl desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

CONCEPTO DE MATRIZ

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)

Cuando nos referimos indistíntamente a filas o columnas hablamos de lineas.El número total de elementos de una matriz Am×n es m·nEn matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.
Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.

MATRICES IGUALES

Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir :

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes :

FILA

Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n

COLUMNA

Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

RECTANGULAR

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

TRASPUESTA

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At ó AT

OPUESTA

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

NULA

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
Diagonal principal : Diagonal secundaria :

SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At , aij = aji

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0

DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :A·A-1 = A-1·A = I
Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)
Es una ley de composición interna con las siguientesPROPIEDADES :
· Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C· Conmutativa : A+B = B+A· Elem. neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A· Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por Mm×n y como hemos visto, por cumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.
¡¡ La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas. !!

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
Es una ley de composición externa con las siguientesPROPIEDADES :

PRODUCTO DE MATRICES

Dadas dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q donde n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B , se define el producto A·B de la siguiente forma :

El elemento aque ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.

MATRIZ INVERSA

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A-1 , a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A-1·A = A·A-1 = I
Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante es distinto de cero, y es "singular" si su determinante es igual a cero.
PROPIEDADES :

Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.
Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.

MÉTODOS PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA :
Aplicando la definición
Por el método de Gauss
Por determinantes